Números Complejos: Un mundo imaginario.: 2014

miércoles, 1 de octubre de 2014

Los números imaginarios son un tipo de número complejo cuyo origen gira en torno a la raíz cuadrada de menos 1. Para comprender mejor el concepto hay que repasar qué son las raíces cuadradas:

En las matemáticas pre-imaginarias (los números reales), cualquier número elevado por sí mismo, a excepción del cero, da un resultado positivo. Esta operación se denomina: “elevar al cuadrado“. Por ejemplo elevar dos al cuadrado sería: 2 · 2 = 2² = 4.

Las raíces cuadradas se entienden como elproceso matemático opuesto a elevar al cuadrado. Es decir: √4 = √2² = 2

De esto se deduce que cuando un número se eleva al cuadrado y a ese resultado le realizamos la raíz cuadrada, se obtiene el número original: 3 –> 3² –> √3² –> 3

LA RAÍZ CUADRADA DE -1

Realicemos un ejercicio de memoria lógica relacionado con el razonamiento anterior: si la raíz cuadrada es la operación inversa a elevar al cuadrado cualquier número, y el resultado de estos últimos son solo números positivos, las raíces cuadradas solo pueden realizarse en números positivos. Al menos, en las operaciones reales.

¿Qué ocurre cuando nos encontramos con una ecuación como la siguiente x² = -1?

Siguiendo las reglas tradicionales de las matemáticas, no se puede resolver, ya que x sería igual a √-1, una operación que antes hemos visto que no puede existir. Ante esta situación, los matemáticos propusieron una solución, sustituir ese valor por un número: el número i.

¿Para qué sirven los números imaginarios?

En primer lugar para dar solución a la problemática de las raíces cuadradas negativas como x² = -1, en la quex = √-1.
Para determinados problemas de la vida real en los que aparecen intermediarios con raíces negativas y cuyo uso de los números imaginarios consigue resolver ecuaciones. Estos casos son muy frecuentes en los campos de la electricidad y la telemática, aunque también aparecen a menudo en mecánica cuántica y en general en los sistemas que describen un movimiento sinusoidal.

Ejemplo:

Imaginemos una ecuación de tres incógnitas en la que hemos conseguido llegar a los resultados (X = √-9) e (Y = √-4):

(X · Y) + 7 = Z

Mediante operaciones reales, esta ecuación no se podría resolver por el simple hecho de que las raíces negativas no existen. Ahora bien, haciendo uso del número i, la ecuación quedaría de la siguiente manera:

[(√9 · √-1) · (√4 · √-1)] + 7 = Z

Sustituyendo √-1 por i:

(3i · 2i) + 7 = Z
6i² + 7 = Z

Sustituyendo i² por -1:

-6 + 7 = Z
Z= 1

De una ecuación aparentemente sin soluciones, hemos llegado a calcular el valor real de una de las incógnitas. Este hecho tiene una gran relevancia para resolver problemas cotidianos, especialmente en los campos mencionados.

Actividad 2

martes, 30 de septiembre de 2014

CURIOSIDADES

Estos números tan novedosos pueden explicar muchos fenómenos de las ciencias naturales y de la física, además tienen aplicación en el arte, la música, en medicina, en informática y más.

¿Escuchaste alguna vez hablar de los fractales? Para dar una definición sencilla, podríamos decir que son figuras y cuerpos que tienen superficie finita pero longitud (o perímetro) infinito... suena paradógico no? podés pensar que esto es sólo cosa de matemáticos y científicos, pero los fractales están más cerca de lo que imaginás, sólo basta observar la naturaleza...

Girasol

Brócoli

Copo de nieve

Si bien la explicación de estos fenómenos requiere de un conocimiento más profundo sobre la "Teoría del caos", nos interesa saber que en las expresiones matemáticas que modelizan su formación, intervienen los números complejos.

En la sección izquierda del blog encontrarás un enlace para conocer más sobre la belleza de los fractales.